(本题10分)证明:当x>0时，则Inx<x-1

 

本题需要证明当x>0时，lnx<x-1。为了证明这一点，我们可以按照以下步骤进行推导：
1. 构造辅助函数g(x) = lnx - x + 1，这样做是为了更方便地分析lnx和x-1之间的关系。
2. 求出g(x)的导数g’(x) = 1/x - 1，导数的分析可以帮助我们了解函数的单调性。
3. 分析g’(x)的符号，我们发现当x∈(0,1)时，g’(x)>0，即函数在此区间内递增；当x∈(1,+∞)时，g’(x)<0，即函数在此区间内递减。这说明g(x)在x=1处达到最大值。
4. 由于g(x)在x=1处取得最大值，且最大值小于等于零（可以通过代入x=1进行验证），因此我们可以得出对于所有x>0，都有lnx<x-1。
综上所述，我们证明了当x>0时，lnx<x-1。