函数$f(x)=\sin x+x^{3}$,我们可以计算$f(-x)$的值,得到$f(-x)=-\sin x+(-x)^3=-\sin x-x^3=-\left(\sin x+x^{3}\right)=-f(x)$,根据奇函数的定义,满足$f(-x)=-f(x)$的就是奇函数,所以函数$f(x)=\sin x+x^{3}$是奇函数。