已知$\alpha + \beta = \frac{\pi}{4}$，求$(1+\tan\alpha)(1+\tan\beta)$的值。

已知$\alpha + \beta = \frac{\pi}{4}$，根据三角函数的基本关系式，我们知道$\tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan\alpha + \tan\beta}{1 - \tan\alpha\tan\beta}$。由于$\alpha + \beta = \frac{\pi}{4}$，所以$\tan(\alpha + \beta) = \tan\frac{\pi}{4} = 1$。将这个结果代入原式$(1+\tan\alpha)(1+\tan\beta)$，得到$(1+\tan\alpha)(1+\tan\beta) = 1 + \tan\alpha + \tan\beta + \tan\alpha\tan\beta = 2$。因此，答案为$2$。