函数$y = x^{2} - 2x - 3$是一个二次函数,其开口向上,对称轴为$x = 1$。根据二次函数的性质,我们知道在对称轴的右侧,即$(1, +\infty)$区间内,函数是增函数。因此,使函数$y = x^{2} - 2x - 3$为增函数的区间是$(1, +\infty)$,故选A。