根据函数定义,有 $f(x) = x^{2} - 1$ ,因此当自变量为 $x+1$ 时,函数值应为 $f(x+1) = (x+1)^{2} - 1$ 。展开后得到 $f(x+1) = x^{2} + 2x + 1 - 1$ ,简化后即为 $f(x+1) = x^{2} + 2x$ 。因此,答案为 B。