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单选题

当x趋近于0时,与y(x)为等价无穷小的函数是().

A
sinx2
B
sinx
C
ln(1+x2)
D
 
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答案:

D

解析:

根据等价无穷小的定义,当 $x \to 0$ 时,两个函数 $f(x)$ 和 $g(x)$ 是等价无穷小,需要满足 $\frac{f(x)}{g(x)} \to 1$。根据这个性质,我们来判断各个选项:

A. $\frac{\sin x^2}{x}$ ,当 $x \to 0$ 时,极限为 $\frac{0}{0}$ 形式,不确定其极限值是否为 1。

B. $\frac{\sin x}{x}$ ,当 $x \to 0$ 时,极限为 1。因此 $x$ 和 $\sin x$ 是等价无穷小。题目中的函数 $y(x)$ 已经给出了其等价无穷小是 $\sin x$。由于选项 B 中是 $\sin x$,不符合题意。

C. $\frac{\ln(1+x^2)}{x}$ ,当 $x \to 0$ 时,极限为 $\frac{ln(1)}{0}$ 形式,极限值为无穷大。因此与 $y(x)$ 不是等价无穷小。

D. $\frac{\arctan x}{x}$ ,当 $x \to 0$ 时,极限为 $\frac{\arctan 0}{0} = \frac{0}{0}$ 形式,通过极限运算可得其极限值为 1。因此 $y(x)$ 与 $\arctan x$ 是等价无穷小。根据题意选项 D 符合题意。

创作类型:
原创

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