求下列极限： （Ⅰ）求极限 $\lim_{{x \to 0}} \frac{\sin x}{x}$ 的值。 （Ⅱ）判断极限 $\lim_{{x \to \infty}} \frac{x}{\sin x}$ 是否存在。 （Ⅲ）求极限 $\lim_{{x \to 0}} \frac{a^{x} - 1}{x}$ 的值，其中 $a > 0$ 且 $a \neq 1$。

（Ⅰ）根据极限的定义和性质，当$x \to 0$时，$\sin x$与$x$是等价无穷小，因此$\lim_{{x \to 0}} \frac{\sin x}{x} = 1$。

（Ⅱ）考虑极限$\lim_{{x \to \infty}} \frac{x}{\sin x}$。由于正弦函数的周期性，当$x \to \infty$时，$\sin x$的值会在$-1$和$1$之间波动。因此，$\frac{x}{\sin x}$的值会趋于无穷大或无穷小，极限不存在。

（Ⅲ）对于极限$\lim_{{x \to 0}} \frac{a^{x} - 1}{x}$，首先观察函数$y = a^{x}$在$x = 0$处的切线斜率即为该极限值。由于函数$y = a^{x}$的导数为$\ln a \cdot a^{x}$，所以当$x \to 0$时，切线的斜率即为$\ln a$，因此$\lim_{{x \to 0}} \frac{a^{x} - 1}{x} = \ln a$。