给定函数 f(x)=x^2(x+1)^2(x+2)^2....(x+n)^2，求其二阶导数 f''(x) 在 x=0 处的值。

给定函数$f(x) = x^{2}(x + 1)^{2}(x + 2)^{2}\ldots\ldots(x + n)^{2}$，我们需要求其二阶导数$f''(x)$在$x=0$处的值。记中间函数$g(x) = (x + 1)^{2}(x + 2)^{2}\ldots\ldots(x + n)^{2}$，则$f(x) = x^{2}g(x)$。根据乘积函数的导数求法，有$f^{\prime}(x) = 2xg(x) + x^{2}g^{\prime}(x)$，继续求二阶导数得$f''(x) = 2g(x) + 4xg^{\prime}(x) + x^{2}g''(x)$。代入$x=0$，得到$f''(0) = 2g(0)$。由于各项在$x=0$时的值均为$(n!)^{2}$，因此$g(0) = (n!)^{2}$，所以最终得到$f''(0) = 2(n!)^{2}$。