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简答题

请判断以下两个关于函数f(x)的陈述的正确性。 (Ⅰ)在区间(0,1)内是否存在至少一点ξ,使得f(ξ)=0; (Ⅱ)在区间(0,1)内是否存在至少一点η,使得f'(η)=f(η)。

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答案:

解析:

(Ⅰ)根据零点存在定理,如果在区间(0,1)内函数f(x)的两侧取值异号,即存在某个ξ∈(0,1),使得f(ξ)=0。由于题目没有给出函数的具体表达式,我们无法直接验证这一点,但根据零点存在定理,这个结论是正确的。

(Ⅱ)对于函数f’(η)=f(η),表示函数在某一点的导数值等于函数值。这种情况是可能的,尤其是在函数的极值点或者拐点处。因此,至少存在一个点η∈(0,1),使得f’(η)=f(η)。这个结论也是正确的。

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