确定k的取值，使方程x³+2x²+x=k有3个不同实根．

为了确定k的取值范围使得方程x^3 + 2x^2 + x = k有三个不同的实根，我们可以按照以下步骤进行推导：
首先，将方程x^3 + 2x^2 + x = k转化为求函数y = x^3 + 2x^2 + x与y = k的交点问题。这是一个三次函数，我们可以通过分析其图像来确定其与水平轴（y=0）的交点数量与位置关系。我们知道该函数有一个极大值点和一个极小值点，极大值点位于(-2/3, 4/27)，极小值点位于无穷远处。接下来我们需要确定这两个点与水平轴的交点情况。考虑到极小值点在无穷远处，我们只需关注极大值点与水平轴的交点情况。当k在这个交点的y坐标（即极大值）和极小值之间时，方程会有三个不同的实根。计算得到极大值为4/27，极小值为无穷小（接近零），所以k的取值范围应在(0, 4/27)之间，即(0, 1/4)。