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简答题

设函数f(x)在(-∞,+∞)内连续,且满足f(x+T)=f(x),T>0,f(-x)=f(x)。 (Ⅰ)给定积分∫f(x)dx从0到x,请简述如何利用f(x)的周期性质简化该积分。 (Ⅱ)对于积分∫|cosx|dx从-π到π,若将其与f(x)结合,如何利用两者的性质简化求解该积分?

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答案:

解析:

(Ⅰ)对于周期函数,我们可以利用其周期性质将问题转化到一个周期内进行考虑。具体地,对于积分∫f(x)dx,由于f(x)是周期函数,所以f(x+nT)=f(x),其中n为整数。因此,可以将积分区间[0,x]划分为若干个长度为T的区间,然后在每个小区间上应用周期性质,将积分转化为更易求解的形式。这需要依据具体的函数形式进行求解。

(Ⅱ)对于|cosx|这个函数,它是一个以π为周期的偶函数。由于f(x)也是以T为周期的周期函数,并且满足f(-x)=f(x),所以可以利用周期性质和偶函数性质将原积分问题转化为求解一个关于余弦函数的积分问题。具体地,需要根据题目给出的函数形式和积分区间进行求解。

创作类型:
原创

本文链接:设函数f(x)在(-∞,+∞)内连续,且满足f(x+T)=f(x),T>0,f(-x)=f(x)。

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