曲面z = x^2 + y^2 - 1在点P(2，1，4)处的切平面方程和法线方程分别为？

首先，给定的曲面方程为 $z = x^{2} + y^{2} - 1$。在点 $P(2, 1, 4)$ 处，切平面应与曲面在该点处的法线垂直。曲面的梯度在点 $P$ 处即为法线的方向向量。因此，我们需要求出该点的梯度向量。然后利用点斜式求出切平面方程和法线方程。具体过程如下：
求梯度向量：对于函数 $z = f(x, y) = x^{2} + y^{2} - 1$，其梯度为 $\nabla f = (2x, 2y)$。在点 $P(2, 1)$ 处，梯度向量为 $(4, 2)$。由于切平面垂直于该梯度向量，我们可以得到切平面的法线方向为 $(1, -1)$。已知点 $P(2, 1, 4)$ 在切平面上，利用点斜式得到切平面方程为 $z = -x + 4$。再利用法线与切平面垂直的关系，可以得到法线方程为 $x - y - 1 = 0$。