已知可微函数f(x,y)满足f(tx, ty) = t²f(x, y)，且曲面z = f(x,y)上一点P₀(1, -2, 2)满足∂ₓf(1, -2) = 4，求曲面在P₀点处的切平面方程。

由题目给出的条件$f(tx, ty) = t^{2}f(x, y)$，我们可以知道函数$f(x, y)$是一个二阶齐次函数。这意味着它满足二阶齐次函数的性质，即其在空间中的等值面（即切平面）可以通过某一点的函数值和梯度来确定。对于点$P_{0}(1, -2, 2)$，我们知道其在曲面上的坐标满足函数关系$z = f(x, y)$。根据题目给出的$\partial_{x}f(1, -2) = 4$，我们可以计算得出曲面在点$P_{0}$处的梯度为$(4, 0)$。因此，根据等值面的性质，曲面在点$P_{0}$处的切平面方程可以由梯度来确定，即$\Delta z = \nabla f \cdot \Delta r$，其中$\Delta r = (x - 1, y + 2, z - 2)$表示点$P_{0}$附近任一点到点$P_{0}$的向量变化。由此得出切平面方程为$4(x - 1) - z + 2 = 0$，简化后得到$4x - z - 2 = 0$。