设函数f(x,y)的全微分为 (ax²y² - 2xy²)dx + (2x³y + bx²y + 1)dy，求a，b的值以及f(x,y)的表达式。

根据题目给出的全微分表达式，我们可以列出如下方程组：
$\begin{cases}
\frac{\partial f}{\partial x} = ax^{2}y^{2} - 2xy^{2}\
\frac{\partial f}{\partial y} = 2x^{3}y + bx^{2}y + 1
\end{cases}$对这两个方程进行积分，可以得到函数$f(x,y)$的表达式为：
$f(x,y) = x^{2}y^{2} - xy^{2} + \int (bx^{2}y + 1) dy$对第二个方程进行积分，得到：
$\int (bx^{2}y + 1) dy = bx^{\frac{3}{2}}y^{\frac{3}{2}} + y$所以函数$f(x,y)$的完整表达式为：
$f(x,y) = x^{2}y^{2} - xy^{2} + bx^{\frac{3}{2}}y^{\frac{3}{2}} + y$由全微分的形式不变性，我们知道原题目中的全微分应该等于常数，即：
$\int (ax^{2}y^{2} - 2xy^{2}) dx + \int (bx^{3}y + bx^{2}y + 1) dy = C$由此可得：
$\frac{\partial f}{\partial x} dx + \frac{\partial f}{\partial y} dy = C \Rightarrow a = 2, b = 1$因此，最终答案为 $a = 2$， $b = 1$， $f(x,y) = x^{2}y^{2} - xy^{2} + x^{3}y + \frac{x^{2}y}{2}$。