请计算球体 $x^{2} + y^{2} + z^{2} = R^{2}$ 被圆柱面 $x^{2} + y^{2} = Rx$ 所截得且在圆柱面内的立体体积。

首先根据题目给出的两个方程 $x^{2} + y^{2} + z^{2} = R^{2}$ 和 $x^{2} + y^{2} = Rx$，我们可以得知球体 $x^{2} + y^{2} + z^{2} = R^{2}$ 被圆柱面 $x^{2} + y^{2} = Rx$ 所截得的立体部分位于圆柱面内部。为了求解这部分的体积，我们可以使用定积分进行计算。具体地，这部分体积由两部分组成：一部分是圆柱体内部的球体体积，另一部分是球体与圆柱体相交部分的体积。由于这部分体积关于平面 $z = \frac{R}{2}$ 对称，我们可以只计算其中一半的体积，然后乘以 2。计算过程中，我们可以使用定积分计算交线部分的面积，然后乘以高 $\frac{R}{2}$ 得到这部分的体积。最终得到的体积为 $\frac{2}{3}\pi R^{3}$。