首先，考虑到被积函数$3x^{2} + 5y^{2} + 7z^{2}$关于z是偶函数。这意味着在积分计算中，我们可以只考虑函数在z的非负部分的积分，因为负部分的积分会与正部分相互抵消。

其次，考虑到积分区域是关于直线$x=y=z$对称的。这意味着我们可以将这个对称性质应用到积分计算中，进一步简化问题。具体地，由于函数的对称性和积分的性质，我们可以只计算一个四分之一的球体（例如上半球体）上的积分，然后将其乘以4来得到整个球体的积分。

最后，为了计算这个积分，我们可以使用球面坐标进行转换，将三维坐标系中的点$(x, y, z)$转换为球面坐标$(r, \theta, \phi)$。在这个坐标系统中，我们可以更容易地处理球体的几何形状和对称性。

综上所述，为了解答这个问题，我们需要利用被积函数的偶函数性质和积分区域的对称性来简化问题，并使用球面坐标进行计算。