设光滑有向曲面S的边界曲线为光滑有向闭曲线L，方向符合右手法则，则I=

首先，计算函数$\sin(x+y+z)$的梯度，得到$\text{grad}\sin(x+y+z) = (\cos(x+y+z), \cos(x+y+z), \cos(x+y+z))$。
然后，根据斯托克斯公式，有
$$
I = \int_{L} \mathbf{A} \cdot d\mathbf{r} - \int_{S} \mathbf{curl}\mathbf{A} \cdot \mathbf{n} , dS
$$其中$\mathbf{A}$是向量函数，这里取$\mathbf{A} = (\cos(x+y+z), \cos(x+y+z), \cos(x+y+z))$。由于$L$是光滑有向闭曲线，且方向符合右手法则，所以积分$\int_{L} \mathbf{A} \cdot d\mathbf{r}$存在。同时，由于$\mathbf{curl}\mathbf{A}$计算结果为$(0,0,0)$，因此$\int_{S} \mathbf{curl}\mathbf{A} \cdot \mathbf{n} , dS = 0$。
最终，由于两项相减得到$I = 0$。