请计算球面在柱体内部的面积S₁和柱面在球体内部的面积S₂，并比较两者的大小。

本题主要考察的是空间几何中球面和柱面的面积计算，以及如何通过积分来计算这些面积。

1. 对于球面在柱体内的面积S₁：

• 由于对称性，我们只需考虑z≥0的部分进行计算。
• 通过将球面方程x^2 + y^2 + z^2 = R^2代入柱面方程x^2 + y^2 = Rx中，得到z的取值范围，然后利用积分公式计算面积。

1. 对于柱面在球体内的面积S₂：

• 同样利用对称性，考虑半个柱面进行计算。
• 通过将柱面方程代入球面方程，得到z的取值范围，然后使用积分公式计算面积。

1. 比较S₁和S₂的大小：

• 根据计算出的面积表达式，通过比较可以得出两者的大小关系。

具体的计算过程和结果需要根据教材和相关的数学知识进行推导。题目中提供的图片是为了更直观地展示几何形状和计算过程，但并不是解题的必要条件。