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简答题
求下列幂级数的收敛域及和函数。
(Ⅰ) 幂级数 Σ[(n^2 + n + 1) * x^n]，求其收敛域及和函数。
(Ⅱ) 幂级数 Σ[(n/(n+1)) * x^(n+1)]，求其收敛域及和函数。
(Ⅲ) 幂级数 Σ[(-1)^n * (n + x) / n]，求其收敛域及和函数。其中 n 为自然数且 n ≥ 2。
(Ⅳ) Σ[(n^3 - n) * x^(n-2)]，求其收敛域及和函数。其中 x 在区间 (-∞, 0) 内。
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答案：
解析：
对于每一个幂级数，我们首先确定其收敛域。这通常涉及到求解不等式或不等式组来确定参数的范围。然后，我们通过几何级数的比较或利用已知的级数求和公式来找到每个级数的和函数。对于无法直接求和的级数，我们可能需要使用求导、积分或其他方法来判断其收敛性并求得和函数。具体步骤和公式在解析中给出。
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