已知差分方程 $(n+1)a_{n+1} = na_n + a_{n-1}$，求对应的连续函数 $S(x)$ 满足的一阶微分方程，并求出数列 ${ a_n }$ 的求和函数 $S(x)$。

本题主要考察差分方程与一阶微分方程的联系以及数列求和函数的求解。

对于第一问，已知递推关系 $(n+1)a_{n+1} = na_n + a_{n-1}$，这是一个差分方程。为了找到对应的连续函数 $S(x)$ 满足的一阶微分方程，可以利用差分方程的泰勒展开式进行推导。这是一个常见的离散化方法，将离散数列的递推关系转化为连续函数的微分方程。具体的推导过程涉及到泰勒公式的应用，需要根据泰勒公式的性质进行推导。

对于第二问，求解数列 ${ a_n }$ 的求和函数 $S(x)$，首先需要求解差分方程得到数列的通项公式 $a_n$。然后，通过生成函数的方法，将数列的递推关系转化为生成函数的微分方程，解这个微分方程得到生成函数。最后，通过对生成函数进行积分或其他运算，得到求和函数 $S(x)$ 的表达式。具体的求解过程需要根据差分方程和生成函数的性质进行推导。