二阶常系数线性齐次微分方程y"+py'+qy=0的通解为y=C₁e^x+C₂xe^x，求非齐次微分方程y"+py'+qy=x在初始条件y(0)=2，y'(0)=0下的特解，特解形式为多少？

已知二阶常系数线性齐次微分方程的通解为 $y = C_{1}e^{x} + C_{2}xe^{x}$，根据特征方程的性质，我们知道对应的特征方程的根为 $r_{1} = r_{2} = 1$。由此，我们可以得到特征方程 $(r-1)^{2} = 0$ ，进一步得到 $r^{2} - 2r + 1 = 0$ 。从这个方程中，我们可以得出系数 $p = -2$ 和 $q = 1$ 。因此，非齐次微分方程为 $y'' - 2y’ + y = x$ ，记作①。为了找到该方程的特解，我们假设特解形式为 $y^{*} = ax + b$ ，并将其代入方程①中。通过比较系数，我们可以得到 $a = 1$ 和 $b = 2$ 。因此，方程①的通解为 $y = C_{1}e^{x} + C_{2}xe^{x} + x + 2$ 。利用给定的初始条件 $y(0) = 2$ 和 $y’(0) = 0$ ，我们可以得到 $C_{1} = 0$ 和 $C_{2} = -1$ 。代入特解形式，我们得到 $y = -xe^{x} + x + 2$ ，与选项C相符。