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简答题

设A是n阶方阵,E是n阶单位矩阵,且A2=A,A≠E,则|A|=_______.

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答案:

解析:

由于给定条件 $A^2 = A$ 且 $A \neq E$,我们可以推断出矩阵 $A$ 的特征值只能为 $0$ 或 $1$。因为若存在特征值既不是 $0$ 也不是 $1$,则 $A$ 无法满足 $A^2 = A$。由于 $A \neq E$,特征值 $1$ 的重数必然小于 $n$,因此特征值 $0$ 的重数至少为 $1$,从而得出 $|\lambda E - A|$ 的秩至少为 $n-1$。因此,矩阵 $A$ 的秩 $r(A) \leq 1$。由于矩阵的秩与其行列式的关系,当矩阵的秩小于其阶数 $n$ 时,其行列式 $|A| = 0$。

创作类型:
原创

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