已知矩阵A是n阶矩阵，证明当A的平方等于A时，矩阵A的秩与矩阵(A-E)的秩之和等于n的条件是什么？请给出详细的证明过程。

本题主要考察了矩阵的秩的性质以及线性方程组的解的性质。在证明过程中，需要结合矩阵的基本性质和线性方程组的解的性质进行推导。具体证明过程可以参考上述答案中的推导过程。