给定向量α₁ = (1，0，2，3)^T，α₂ = (1，1，3，5)^T，α₃ = (1，-1，a，1)^T 和 β = (1，b，4，7)^T。请确定当a和b为何值时，β不能由α₁、α₂、α₃线性表示或能线性表示它们，并给出线性表示的表达式。

首先，我们考虑β不能由α~1~，α~2~，α~3~线性表示的情况。由于线性组合的唯一性，若存在某个系数使得三个向量无法组成一个新的向量β，那么说明β无法由这三个向量线性表示。从题目给出的向量中我们可以看出，当α~3~的a等于α~2~-α~1~的第一分量时，即a = 1时，β无法由α~1~, α~2~, α~3~线性表示。此时无论b取何值，都不会改变这一情况。所以，当a = 1且b为任意实数时，β不能由α~1~, α~2~, α~3~线性表示。接着考虑β可由α线性表示的情况。假设存在一组系数k、m和n使得β可以由α线性表示，即存在关系式β = kα~1~~ + mα2 + nα3。通过对比向量的分量可以得到一个关于a、b、k、m和n的方程组。解这个方程组可以得到a和b的值。通过计算我们发现当a = 3且b = 4时，存在一组系数使得上述关系式成立。此时我们可以得到线性表示的表达式为β = α1 + α2 + α3。