已知矩阵A的维度为5×4，秩为2，向量α₁、α₂、α₃分别是方程组Ax=0的解向量，其中α₁=(1，1，2，3)^T，α₂=(-1，1，4，-1)^T，α₃=(5，-1，-8，9)^T。求方程组Ax=0解空间的一组标准正交基。

首先，我们知道矩阵A的秩r(A)=2，维度n=4，通过计算得知Ax=0的解空间维数为n-r(A)=4-2=2，即Ax=0的解空间有两个线性无关的解向量。
其次，已知α~1~和α~2~是方程组Ax=0的解向量，我们可以通过α~1~和α~2~构造一个基础解系。因为α~3~=(5，-1，-8，9)^T^也是Ax=0的解向量，但它可以由α~1~和α~2~线性表示（即α~3~=kα~1~+mα~2~），所以不需要将其纳入基础解系中。此时我们需要对基础解系进行正交单位化处理，即将α~1~和α~2~进行正交变换处理，使得新的向量组既正交又单位化，从而得到解空间的一组标准正交基。具体的正交单位化过程可以通过施密特正交化方法实现。