设α₁，α₂，…，αₙ是n维向量空间Rⁿ的一组基，且β₁=α₁，β₂=α₁+α₂，…，βₙ=α₁+α₂+…+αₙ。 （Ⅰ）证明β₁，β₂，…，βₙ也是Rⁿ的一组基，并构造由α₁，α₂，…，αₙ到β₁，β₂，…，βₙ的过渡矩阵P。 （Ⅱ）已知向量α∈Rⁿ在基α₁，α₂，…，αₙ下的坐标为(n，n-1，…，2，1)ᵀ，求α在基β₁，β₂，…，βₙ下的坐标。

（Ⅰ）要证明β向量组是R^n的一组基，我们需要证明它们是线性无关的并且含有n个向量。由于每个β向量都可以由α向量组线性表示，且α向量组是线性无关的，所以β向量组也是线性无关的。又因为β向量组有n个向量，所以它们是R^n的一组基。过渡矩阵P可以通过β向量组关于α向量组的坐标表示来构造，形成一个下三角矩阵。
（Ⅱ）求α在基β下的坐标，可以通过左乘过渡矩阵P的逆矩阵来实现。因为P是一个下三角矩阵且所有对角元素都不为零，所以其逆矩阵可以直接得到。通过计算P^-1 * α的坐标，我们可以得到ζ的坐标，即α在基β下的坐标。