已知向量 α₁=[1，2，-3，1]^T，α₂=[5，-5，a，11]^T，α₃=[1，-3，6，3]^T，α₄=[2，-1，3，a]^T。 （1）当a取哪些值时，向量组α₁，α₂，α₃，α₄线性相关？ （2）当a取哪些值时，向量组α₁，α₂，α₃，α₄线性无关？ （3）当α4能由α₁，α₂，α₃线性表出时，求a的值及α4的表出式。

本题考察向量线性相关和线性表出的条件。
(1) 由于向量组线性相关，所以行列式为零，即 |A| = a - 3 = 0 或 a + 6 = 0 或 a - 9 = 0 或 a - 6 = 0，解得 a = 3 或 a = -6 或 a = 9 或 a = 6。因此当 a 取这些值时，向量组线性相关。
(2) 当向量组线性无关时，行列式不为零，即 a ≠ 3 且 a ≠ 9。
(3) 当向量组线性相关时，可以通过求解线性方程组找到向量 α4 的表出式。将 α4 代入到以 α~1~，α~2~，α~3~ 为未知数的方程组中，解得 α4 的表出式为 (-2α~1~ + α~2~ + α~3~) 当且仅当 a = 3 时成立。