已知列向量组α₁，α₂，α₃，α₄是线性方程组Ax=0的一个基础解系，若β=α₁+tα₂，β₂=α₂+tα₃，β₃=α₃+tα₄，β₄=α₄+tα₁，讨论t满足什么条件β₁，β₂，β₃，β₄也是方程组Ax=0的一个基础解系．

已知α~1~, α~2~, α~3~, α~4~是线性方程组Ax=0的一个基础解系，意味着这四个向量线性无关且是Ax=0的解。根据题意，β~i~（i=1,2,3,4）是α向量的线性组合。要使得β~i~也是Ax=0的基础解系，需要满足两个条件：一是β~i~线性无关，二是β~i~是Ax=0的解。对于第一个条件，由于α向量线性无关，只要t的取值使得β向量之间也线性无关即可。对于第二个条件，由于α向量已经是Ax=0的解，因此只需考虑β向量是否仍然是方程的解。通过矩阵变换和行列式性质，可以推导出t的具体取值条件。当矩阵A的秩小于向量个数时，β向量可以构成基础解系，此时需要避免t取某些特定值导致β向量组线性相关。综上所述，t的取值需要满足上述条件。