给定一个三阶矩阵A和一个三维列向量α，构造矩阵P=(α，Aα，A^2α)，已知矩阵P可逆且矩阵B=P^-1^AP满足关系式 A^3α+2A^2α=3Aα。求|A+E|的值。

根据题目条件，我们有矩阵P=(α，Aα，A^2^α)和矩阵B=P^-1^AP。同时给出了关系式A^3^α+2A^2^α=3Aα。我们可以按照以下步骤求解|A+E|：

1. 由于P是列向量组成的可逆矩阵，我们可以利用矩阵乘法得到矩阵B的表达式。根据B=P^-1^AP，我们有B的每一个列向量都是A作用于P的对应列向量得到的。因此，B的第一个列向量是A作用在α上得到的，第二个列向量是A作用在Aα上得到的，以此类推。这样我们可以得到矩阵B的具体形式。

2. 根据给出的关系式A^3^α+2A^2^α=3Aα，我们可以得到另一个关于矩阵A的信息。这个关系式告诉我们矩阵A的某个线性组合等于另一个矩阵的线性组合，这是求解矩阵问题的重要线索。

3. 由于我们需要求解的是|A+E|，我们可以考虑将A+E与已知条件相结合。我们可以将A+E乘以某个矩阵，使其转化为更容易求解的形式。这里我们选择乘以矩阵P和其逆矩阵P^-1^。这样我们可以利用已知的矩阵关系和矩阵运算规则来求解目标表达式。

4. 通过上述步骤，我们可以得到一个关于矩阵A的表达式，然后计算其行列式值。最终得到的结果是-4。