设向量组$\alpha_{1}$，$\alpha_{2}$，$\alpha_{3}$线性无关，矩阵A与向量组的关系满足$A\alpha_{1} = \alpha_{2} + \alpha_{3}$，$A\alpha_{2} = \alpha_{1} + \alpha_{3}$，$A\alpha_{3} = \alpha_{1} + \alpha_{2}$。请证明：$A\alpha_{1}$，$A\alpha_{2}$，$A\alpha_{3}$线性无关并求矩阵A的行列式值。

(1)为了证明Aα~1~, Aα~2~, Aα~3~线性无关，我们可以采用反证法。假设存在非零实数k₁，k₂，k₃使得线性组合为零，通过矩阵乘法的分配律，可以得到一个关于矩阵A和向量α的等式。利用已知条件α的线性无关性，可以得到矛盾，从而证明Aα是线性无关的。

(2)求矩阵A的行列式|A|时，首先根据题目给出的矩阵关系式，得到包含单位矩阵E的矩阵关系。然后利用行列式的性质，通过计算行列式得到结果。由于β可以由α线性表示，所以β的行列式不为零，从而可以判断矩阵A的行列式不为零。具体值需要进一步计算。