证明：n阶矩阵A正定的充分必要条件是存在可逆矩阵P，使得A=P^TP．

充分性证明：
1. 若存在可逆矩阵P，使得(A=P^TAP)，则矩阵A的特征值都大于零。这是因为矩阵P的可逆性保证了变换是可逆的，而矩阵的相似保持了特征值的性质。因此，矩阵A是正定的。
必要性证明：
2. 若矩阵A是正定的，那么其特征值都大于零。由于存在可逆矩阵P，可以通过一系列的初等行变换将矩阵A转换为另一种形式，同时保持其特征值的性质不变。因此，存在一个可逆矩阵P，使得(A=P^TAP)。
综上所述，存在可逆矩阵P，使得(A=P^TAP)是n阶矩阵A正定的充分必要条件。