将大小相同、标号为1至5的五个球随机放入标号为1至10的十个空盒中，每个球放入任何一个盒子的可能性相同，且每个空盒可以放多个球。计算下列事件的概率： （1）事件A：指定的五个盒子中各有至少一个球。 （2）事件B：每个盒子中最多只有一个球。 （3）事件C：某个特定的盒子（例如第一个盒子）不空。

第一问：事件A包含的基本事件有$A_{5}^{5}$种（即从十个盒子中选五个盒子放入五个球，每个盒子放一个球的方式有$A_{5}^{5}$种），总的基本事件数为$A_{10}^{5}$（即五个球放入十个盒子的所有可能方式）。所以事件A的概率是$\frac{A_{5}^{5}}{A_{10}^{5}}$。

第二问：每个盒子最多只有一个球的情况相当于从十个盒子中选五个盒子放球，也就是组合问题，概率为$\frac{C_{10}^{5}}{A_{10}^{5}}$。因为每个盒子放球的数量不受限制，所以总的基本事件数仍为$A_{10}^{5}$。

第三问：某个指定的盒子不空的情况，需要先考虑其他九个盒子的放球情况。从九个盒子中选四个盒子放球的方式有$C_{9}^{4}$种，总的基本事件数为$A_{10}^{4}$（即四个球放入十个盒子的所有可能方式）。所以某个指定的盒子不空的概率是$\frac{C_{9}^{4}}{A_{10}^{4}}$。如果要计算第一个盒子不空的概率，需要考虑其他九个球如何放入剩下的九个盒子中，所以概率是$\frac{C_{9}^{4} + C_{9}^{3}}{A_{10}^{4}}$（即其他九个球放入九个盒子的方式中有四个或三个球放入第一个盒子的概率）。