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简答题

给定二维随机变量(X, Y)的概率密度函数为 ,求: (Ⅰ)常数k的值,并判断X与Y是否相互独立,给出理由。 (Ⅱ)Z = X + Y的概率密度fZ(z)。

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答案:

解析:

(Ⅰ)求常数k的值,可以通过概率密度函数的积分等于1的性质来解决。具体来说,我们需要对给出的概率密度函数进行积分,并设置积分结果等于1来求解k。即∫∫f(x,y)dxdy=1。通过计算可以得到k的值。

关于X与Y是否相互独立,我们可以通过比较给定概率密度函数与独立情况下的乘积形式来判断。如果f(x,y)可以写成f(x)f(y)的形式,那么X和Y是独立的。通过对比和分析,我们可以得出X和Y是否独立,并给出理由。

(Ⅱ)求Z=X+Y的概率密度fZ(z),可以利用卷积公式来解决。卷积公式为fZ(z)=∫f(x)f(z-x)dx。我们需要将给定的概率密度函数代入这个公式,并通过积分计算得出Z的概率密度函数fZ(z)。具体计算过程需要一定的数学计算和积分技巧。

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