已知随机变量X₁，X₂，X₃的方差都是σ²，任意两个随机变量之间的相关系数都是ρ，则ρ的最小值为______．

由于随机变量X~1~，X~2~，X~3~的方差都是σ^2^，且任意两个随机变量之间的相关系数都是ρ，我们可以利用协方差矩阵的性质来求解ρ的最小值。协方差矩阵是一个对称矩阵，其所有特征值都是实数。由于随机变量的方差都是σ^2^，协方差矩阵的最大特征值是3σ^2^。当且仅当三个随机变量线性相关时，协方差矩阵的秩为1，即存在λ使得X = λ(X~2~, X~3~)，此时协方差矩阵的最小特征值为σ^2^的负值，因为三个变量间的两两相关系数相等且均为负值，故最小特征值对应的特征向量方向即为三个随机变量的线性组合方向。由此可求得ρ的最小值为$- \frac{\sqrt{3}}{3}$。