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简答题

某射手进行独立重复射击,每次击中目标的概率为p(p>0)。假设他在第X次射击时首次击中目标,以X为总体,X的简单随机样本为X₁,X₂,…,Xn。请完成以下两个问题: (Ⅰ)求X的概率分布。 (Ⅱ)分别通过矩估计法和最大似然估计法求参数p的估计值。

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答案:

解析:

(Ⅰ) 由于射手每次射击是独立重复的事件,且每次击中的概率为p,未击中的概率为1-p。首次击中的次数X服从几何分布,其概率分布为P{X=k}=p(1-p)^(k-1),其中k表示射击次数。

(Ⅱ) 对于参数p的估计,我们可以使用两种常见的方法:矩估计法和最大似然估计法。
矩估计法:在几何分布中,期望E(X)=1/p。如果我们有一组样本数据,我们可以通过计算样本均值来估计真实的均值,进而通过1/样本均值来估计参数p。
最大似然估计法:假设我们观察到X的值为x,我们可以构造一个似然函数L(p)=p(1-p)^(x-1)。为了得到参数p的最大似然估计量,我们需要最大化这个函数。通过对L(p)求导并令其等于零,我们可以解出p的值。这个过程通常通过数值方法(如迭代法)来完成。

创作类型:
原创

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