根据题目给出的选项描述，我们需要判断函数f(x)及其导数的连续性。题目描述中提到了f’(x)连续和f''(0)不存在。这意味着函数的一阶导数在整个定义域内是连续的，但在x=0处二阶导数不存在。因此，正确答案是C。参考解析中的图片可能提供了进一步的解释或例子来支持这一结论。