设随机变量X与Y相互独立，X服从参数为1的指数分布，Y的概率分布为P{Y=-1}=p，P{Y=1}=1-p，(0<p<1)，令Z=XY．
(I)求Z的概率密度；
(Ⅱ)p为何值时，X与Z不相关?
(Ⅲ)X与Z是否相互独立?

(I)已知随机变量X与Y相互独立，且X服从参数为λ=1的指数分布，Y的概率分布为P{Y=-1}=p，P{Y=1}=1-p，(0<p<1)，我们可以计算得到Z的分布情况，然后根据概率密度函数定义求解得到Z的概率密度。具体过程可以参考给出的图片中的解析。
(II)根据不相关的定义，我们需要判断Cov(X，Z)是否等于0。具体过程可以参考给出的图片中的解析，当p等于1/2时，X与Z不相关。
(III)我们需要判断X与Z是否相互独立，可以通过考察X和Z的联合分布以及它们的边缘分布是否满足独立性的定义来判断。具体过程可以参考给出的图片中的解析，X与Z不相互独立。