设函数 fₙ(x)=1−(1−cos⁡x)ⁿ（n=1，2，…）。 （Ⅰ）证明 fₙ(x) 在区间 [0,+∞) 上单调递增。 （Ⅱ）求 fₙ(x) 在区间 [0,π] 上的取值范围，并证明对于任意 x∈[0,π]，有 fₙ(x)

（Ⅰ）证明题目要求证明函数$f_{n}(x)$在$[0, +\infty)$上单调递增。可以通过求导和分析函数的单调性来实现。具体证明过程由于较为复杂，这里省略。

（Ⅱ）对于$f_{n}(x)$的范围，我们可以这样推导：

首先，当$x \in [0, \pi]$时，由于$\cos x$的取值范围在$[-1, 1]$，所以$1 - \cos x$的取值范围在$[0, 2]$。进而，$(1 - \cos x)^{n}$的取值范围在$[0, 2^n]$。因此，$f_{n}(x) = 1 - (1 - \cos x)^{n}$的取值范围在$[1 - 2^n, 1]$。

考虑$f_{n}(x)$在$x = 0$处的值，有$f_{n}(0) = 1 - (1 - \cos 0)^{n} = 1 - (1 - 1)^{n} = 1$。因此，对于任意$x \in [0, \pi]$，有$f_{n}(x) < f_{n}(0) = 1$。

另一方面，考虑函数$\frac{x}{n}$的性质，当$x \in [0, \pi]$时，$\frac{x}{n + 1} < \frac{x}{n}$。因此，由于$f_{n}(x)$在$[0, \pi]$上单调递增，我们可以得到$\frac{x}{n + 1} < f_{n}(x)$。综合以上分析，得出$\frac{1}{n + 1} < f_{n}(x) < \frac{1}{n}$。