给定函数f(x)如下： （Ⅰ）求P值，使得f(x)在x=0处连续； （Ⅱ）求P值，使得f(x)在x=0处可导； （Ⅲ）判断是否存在P值，使得f'(x)在x=0处连续。

（Ⅰ）对于函数连续性的判断，需要满足在极限值存在且等于函数在该点的值时连续。因此，需要计算当$x \rightarrow 0$时，$f(x)$的极限值是否等于其在$x=0$处的函数值。根据题目给出的函数表达式，当$P = 0$时，满足连续的条件。所以，当$P = 0$时，函数在原点连续。
（Ⅱ）对于函数可导性的判断，需要满足左右导数存在且相等。根据题目给出的函数表达式和导数的定义，计算当$x \rightarrow 0^+$和$x \rightarrow 0^-$时的导数情况，可以得到当$P > 1$时，满足可导的条件。因此，当$P > 1$时，函数在原点可导。
（Ⅲ）对于一阶导数连续性的判断，需要满足一阶导数在该点的极限值等于一阶导数在该点的值。然而，根据题目给出的函数的一阶导数表达式和极限计算规则，我们发现无论取何值的P，都无法使得一阶导数在原点连续。因此，不存在这样的P值使得一阶导数在原点连续。