假设有一个半径为R的半圆形闸门垂直放入水中，其直径与水面齐平。坐标原点设在圆心，x轴朝下。求闸门所受压力p的大小。

根据题目描述和给定的条件，可以计算出闸门所受压力p的表达式。由于坐标原点取在圆心，x轴正向朝下，可以通过积分计算出闸门的压强分布，然后求得压力p。最终得到的压力p的表达式与选项C中的表达式相符。因此，正确答案为C。