（Ⅰ）根据图示，写出S₁和S₂关于时间t的函数表达式，并求S₁+S₂的总路程函数表达式。 （Ⅱ）证明：S₁+S₂的总路程存在最小值。

(Ⅰ)根据题目给出的图形和物理情境，我们可以得出$S_{1}$和$S_{2}$的表达式分别为$\frac{1}{2}at^{2}$和$v_{0}t + \frac{1}{2}gt^{2}$。将两者相加得到$(Ⅰ)$的答案。

(Ⅱ)的证明过程需要结合一元二次函数的性质和导数的基本性质。通过求导并观察导数的符号变化，我们可以判断函数的增减性，从而确定函数的最小值点。