给定球体 $x^{2} + y^{2} + z^{2} = R^{2}$（$R > 0$）和圆柱面 $x^{2} + y^{2} = Rx$，求球体被圆柱面截取后含在圆柱面内的立体体积。

题目中给出了球体 $x^{2} + y^{2} + z^{2} = R^{2}$（$R > 0$）和圆柱面 $x^{2} + y^{2} = Rx$。我们需要求球体被圆柱面截取后，含在圆柱面内的立体体积。

首先，我们可以将这个问题转化为在三维坐标系中的几何问题。考虑球体与圆柱面的交线，这个交线是一个圆。我们需要计算的是这个圆以上的球体部分的体积。

假设截取部分的体积为 $V$，由于对称性，我们可以考虑球体在 $xOy$ 坐标面上方的部分（如图5—33所示）。这部分的体积是完整球体体积的 $\frac{1}{8}$。完整球体的体积公式为 $\frac{4}{3}\pi R^{3}$。

因此，截取部分的体积 $V$ 为 $\frac{1}{8} \times \frac{4}{3}\pi R^{3} = \frac{1}{6}\pi R^{3}$。由于题目要求的是被圆柱面截取的含在圆柱面内的立体体积，所以需要考虑圆柱面的高度 $R$，这部分体积是 $\frac{R}{3} \times \pi R^{2}$。将这个体积与截取部分的体积相加，得到总体积为 $\frac{4}{9} \times \frac{4}{3}\pi R^{3}$。