给定向量α=(1，-1，2)^T和β=(2，1，1)^T，设矩阵A=αβ^T，求A^n。

由于矩阵乘法满足线性性质，我们有$A = \alpha\beta^{T} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 \ - 1 & 1 & 1 \ 2 & 1 & 2 \end{pmatrix}$。接着，我们计算矩阵A的特征多项式$f(\lambda) = (\lambda - 3)(\lambda^{2} - 3\lambda + 2)$，由此得到特征值$\lambda_{1} = 3$，$\lambda_{2} = 1$，$\lambda_{3} = 2$。当$\lambda_{n} = \lambda_{i}$时，有矩阵的幂运算公式$A^{n} = \alpha_{i}\beta_{i}^{T}m_{i}^{n}$，其中$\alpha_{i}$和$\beta_{i}$是对应的特征向量，而$m_{i}$是与特征值对应的特征多项式系数之比。因此，对于给定的矩阵A和其特征值$\lambda_{n}$，我们有$A^{n} = (n - 1)\alpha\beta^{T}\alpha = (n - 1)\alpha$。