根据题目给出的矩阵$\mathbf{A}$和$\mathbf{B}$，由于矩阵$\mathbf{B}$的行列式$|\mathbf{B}| = 10 \neq 0$，根据矩阵乘法的性质，我们知道矩阵$\mathbf{A}$和$\mathbf{B}$相乘的结果的秩$r(\mathbf{A}\mathbf{B})$等于矩阵$\mathbf{A}$的秩$r(\mathbf{A})$。而根据给定的矩阵$\mathbf{A}$，我们可以得知其秩$r(\mathbf{A}) = 2$。因此，$r(\mathbf{A}\mathbf{B}) = r(\mathbf{A}) = 2$。