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单选题

向量组(Ⅰ):α₁,α₂,…,αₛ与向量组(Ⅱ):α₁,α₂,…,αₛ,αₛ₊₁,…,αₛ₊ᵢ的相关性如何判断?

A
(Ⅰ)相关可推导出(Ⅱ)相关.
B
(Ⅰ)无关可推导出(Ⅱ)无关.
C
(Ⅱ)无关可推导出(Ⅰ)无关.
D
(Ⅱ)相关可推导出(Ⅰ)无关.
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答案:

D

解析:

考虑两个向量组(Ⅰ)和(Ⅱ),其中(Ⅰ)包含向量α~1~,α~2~,…,α~s~,而(Ⅱ)包含向量α~1~,α~2~,…,α~s~,α~s+1~,…,α~s+t~。根据线性代数的知识,如果向量组(Ⅰ)线性无关,那么向量的数量与它们所构成的线性空间的维度有关。也就是说,即使向量组(Ⅰ)线性无关,向量组(Ⅱ)可能仍然线性相关或线性无关。因此,从向量组(Ⅰ)的线性无关性无法推断出向量组(Ⅱ)的线性无关性。相反,如果向量组(Ⅱ)线性相关,根据定义可以推导出向量组(Ⅰ)不可能是线性无关的(因为至少存在一个额外的向量α导致整体相关性)。因此,选项D是正确的。

创作类型:
原创

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