设向量组α₁，α₂，α₃线性无关，且α₁+aα₂+4α₃，2α₁+α₂-α₃，α₂+α₃线性相关，则a=_______

由于向量组α~1~, α~2~, α~3~线性无关，因此矩阵的秩等于其向量的个数，即r(α~1~, α~2~, α~3~, α~1~+aα~2~+4α~3~, 2α~1~+α~2~-α~3~, α~2~+α~3~) = 3。根据题目给出的线性相关条件，我们知道矩阵中存在一个向量可以由其他向量线性表示，即存在一组不全为零的实数k, l, m满足k(α~1~+aα~2~+4α~3~) + l(2α~1~+α~2~-α~3~) + m(α~2~+α~3~) = 0。根据向量的线性组合性质，我们可以将上式展开并整理得到一个关于a的方程。解这个方程，我们可以得到a的值。