设向量集合A由向量α₁，α₂，α₃组成，其中α₁=(1，0，1)^T，α₂=(1，1，2)^T，α₃=(a, 2, b)^T。集合B由向量β₁和β₂组成，其中β₁₂=(1，0，6)^T。 （Ⅰ）求当a、b取何值时，β₁不能由α₁、α₂、α₃线性表示； （Ⅱ）求当a、b满足何条件时，β₁、β₂能同时由α₁、α₂、α₃线性表示，并给出线性组合表达式。

(Ⅰ) 首先考虑β₁，由于初等行变换后的矩阵第三行始终为(a, a+b, b)，无论a取何值，都无法通过α₁，α₂，α₃的线性组合得到β₁。因此，β₁无法由α₁，α₂，α₃线性表示。对于β₂，当b不为零时，可以通过初等行变换使得第三行为(0, 0, 1)，此时可以通过α₁，α₂，α₃的线性组合得到β₂。因此，当a为任意值且b不为零时，β₁和β₂不能同时由α₁，α₂，α₃线性表示。

(Ⅱ) 要使β₁和β₂可以同时由α₁，α₂，α₃线性表示，需要矩阵方程A·X=B有解。解这个方程可以得到X=(a,-a-b,b)，即可以得到β₁和β₂的线性组合表达式。具体来说，β₁可以通过α₁和α₃的线性组合得到，而β₂可以通过α₁、α₂和α₃的线性组合得到。因此，当矩阵方程有解（即b不为零）时，可以给出相应的线性组合表达式。