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简答题
设A是m×n矩阵，α₁与α₂是非齐次线性方程组Ax=b的两个不同解。
（Ⅰ）证明：α₁与α₁-α₂线性无关；
（Ⅱ）若β是Ax=0的一个非零解向量，且r(A)=n-1，证明：β，α₁，α₂线性相关。
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答案：
解析：
(Ⅰ)部分主要运用了矩阵的秩和线性无关的定义。由于α~1~和α~2~是非齐次线性方程组的两个不同解，我们知道矩阵A的列空间至少有两个不同的向量，因此矩阵的秩至少为2。而α~1~-α~2~是齐次线性方程组的解，与α~1~不共线，从而证明了α~1~和α~1~-α~2~线性无关。
(Ⅱ)部分主要运用了矩阵的零空间和列空间的概念。由于β是Ax=0的非零解，它一定在矩阵A的零空间中。而α~1~和α~2~在矩阵A的列空间中。由于矩阵的零空间维数大于其列空间维数（因为r(A)=n-1），所以β，α~1~和α~2~必然线性相关。
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原创
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