给定矩阵A是3阶的，以及三个非零的3维列向量α_i(i=1，2，3)，它们满足条件Aα_i = iα_i(i=1，2，3)，以及α = α₁ + α₂ + α₃。证明向量α，Aα，A²α是线性无关的。

本题主要考察特征向量与特征值的关系以及矩阵乘法的线性性质。首先根据题意知道矩阵A的特征向量α₁，α₂，α₃分别对应特征值λ₁，λ₂，λ₃。由题目条件可知，这些特征向量满足线性关系。接着通过设定一个线性组合等于零的等式（这是一种常用的证明线性无关的方法），通过代入特征值和特征向量的关系进行推导。由于特征向量是线性无关的，所以存在唯一确定的系数使得等式成立。若假设存在一组系数使得三个等式同时成立，则可以得到矛盾的结果，从而证明α，Aα，A²α线性无关。