给定向量组α₁，α₂，α₃是齐次线性方程组AX=0的一个基础解系，下列哪个向量组同样是该方程组的基础解系？

根据齐次线性方程组的性质，解向量组${\alpha}{1},{\alpha}{2},{\alpha}{3}$是方程组AX=0的一个基础解系，这意味着它们是线性无关的。我们需要找到一个新的向量组，它同样是方程组AX=0的解，并且向量之间是线性无关的。
选项A：${\alpha}{1}+\alpha_{2},{\alpha}{2}+\alpha{3},{\alpha}{3}-\alpha{1}}$，这三个向量不一定是线性无关的，因为它们可能通过线性组合得到零向量。
选项B：${\alpha}{1}+\alpha{2},{\alpha}{2}+\alpha{3},{\alpha}{1}+2\alpha{2}+\alpha_{3}}$，第三个向量可以由前两个向量的线性组合得到，因此它们不是线性无关的。
选项C：${\alpha}{1}+2\alpha{2},2\alpha_{2}+3\alpha_{3},3\alpha_{3}+\alpha_{1}}$，这三个向量无法通过简单的线性组合相互表示，因此它们是线性无关的。并且它们都是方程组AX=0的解向量。
选项D的向量组不满足线性无关的条件。
因此，只有选项C的向量组满足题目要求，是方程组AX=0的基础解系。